首先，得有个方阵。记住了，必须得是方阵，就是行数跟列数一样多，方方正正的。比如一个 3x3 的矩阵 A。

计算伴随矩阵这活儿，就像是给原矩阵A里的每个“住户”（也就是每个元素）都找个“替身”，这替身不是随随便便找的，得按规矩来，这个规矩的核心就是代数余子式。

咱们先得弄明白余子式（Minor）是个啥。想象一下，你的矩阵A是个小区，每个元素 Aᵢⱼ 就住在第 i 排第 j 列的房子里。要找 Aᵢⱼ 的余子式 Mᵢⱼ，你得狠下心来，把这一整排（第 i 行）和这一整列（第 j 列）都给“封锁”了，也就是从原矩阵里“删除”掉。剩下的那些没被封锁的元素，它们自己又能组成一个新的小矩阵。好了，这新组成的小矩阵的行列式的值，就叫做 Aᵢⱼ 的余子式 Mᵢⱼ。

比如说，有个 3x3 的矩阵：

A =

[ a₁₁ a₁₂ a₁₃ ]

[ a₂₁ a₂₂ a₂₃ ]

[ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ]

想找元素 a₂₃ （第二行第三列那个）的余子式 M₂₃？那就把第二行和第三列划掉：

[ a₁₁ a₁₂ ~~a₁₃~~ ]

[ ~~a₂₁~~ ~~a₂₂~~ ~~a₂₃~~ ]

[ a₃₁ a₃₂ ~~a₃₃~~ ]

剩下的是：

[ a₁₁ a₁₂ ]

[ a₃₁ a₃₂ ]

M₂₃ 就是这个 2x2 矩阵的行列式： M₂₃ = a₁₁a₃₂ - a₁₂a₃₁。

这只是余子式，离代数余子式（Cofactor）还差一步，但这一步非常关键，因为它带上了符号。代数余子式 Cᵢⱼ 的计算公式是：Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ。

看到那个 `(-1)ⁱ⁺ʲ` 了吗？这个神秘的符号决定了是在余子式前面加个正号还是负号。它跟这个元素在矩阵里的“位置”有关（行号 i 和列号 j）。如果行号加列号 (i+j) 是个偶数，那 `(-1)ⁱ⁺ʲ` 就是 1，代数余子式 Cᵢⱼ 就等于余子式 Mᵢⱼ。如果行号加列号 (i+j) 是个奇数，那 `(-1)ⁱ⁺ʲ` 就是 -1，代数余子式 Cᵢⱼ 就是 Mᵢⱼ 的相反数，也就是 -Mᵢⱼ。

你可以想象一个符号方阵，从左上角开始，像棋盘一样正负交替：

[ + - + ]

[ - + - ]

[ + - + ]

...依此类推。对于 3x3 矩阵，a₁₁ 位置是 1+1=2（偶数），所以是 +。a₁₂ 位置是 1+2=3（奇数），所以是 -。a₂₃ 位置是 2+3=5（奇数），所以是 -。懂了吗？你算出余子式 Mᵢⱼ 后，看看它所在的位置是“+”还是“-”，如果是“-”，就在前面加个负号，得到 Cᵢⱼ。

好了，现在你有了给矩阵A里的每个元素 aᵢⱼ 都算出了它的代数余子式 Cᵢⱼ 的本事。接下来，咱们用这些代数余子式，原地组成一个新的矩阵。这个新矩阵可不是随便摆的，原来 aᵢⱼ 在哪儿，它的代数余子式 Cᵢⱼ 就搁在哪儿。把所有的 Cᵢⱼ 按照它们对应的 aᵢⱼ 的位置摆好，就得到了一个余子矩阵（Cofactor Matrix），咱们叫它 C 吧。

C =

[ C₁₁ C₁₂ C₁₃ ]

[ C₂₁ C₂₂ C₂₃ ]

[ C₃₁ C₃₂ C₃₃ ]

...以此类推，如果你的原矩阵是 n x n 的，这个余子矩阵也是 n x n 的。

哎呀，到这儿还没完呢！伴随矩阵 Adjoint(A)，或者有的书里写 A，它不是这个余子矩阵 C 本身。它是余子矩阵 C 的转置（Transpose）。

转置是个啥操作？简单说，就是把矩阵的行变成列，列变成行。原来第一行的数据，现在变成第一列；原来第二行的数据，现在变成第二列... 以此类推。就像把一个躺着的矩阵给竖起来，或者说沿着主对角线（从左上到右下那条线）给“翻个面儿”。

所以，伴随矩阵 adj(A) = Cᵀ。

如果 C 是上面那个余子矩阵：

C =

[ C₁₁ C₁₂ C₁₃ ]

[ C₂₁ C₂₂ C₂₃ ]

[ C₃₁ C₃₂ C₃₃ ]

那么它的转置 Cᵀ，也就是伴随矩阵 adj(A)，就是：

adj(A) =

[ C₁₁ C₂₁ C₃₁ ]

[ C₁₂ C₂₂ C₃₂ ]

[ C₁₃ C₂₃ C₃₃ ]

看清楚了吗？原来 C 的第一行 (C₁₁, C₁₂, C₁₃) 变成了 adj(A) 的第一列；原来 C 的第二行 (C₂₁, C₂₂, C₂₃) 变成了 adj(A) 的第二列，以此类推。元素 C₂₃ 原来在 C 的第二行第三列，转置后它就跑到了 adj(A) 的第三行第二列。

整个过程，拆开看，其实不难理解，就是有点机械，特别是矩阵维数高了以后，算每个余子式里的行列式，那真是个体力活儿，而且巨容易出错，特别是那个符号！当年我学这块儿的时候，就是栽在这符号上了，算得心烦意乱，最后发现答案不对，十有八九是哪个地方的正负号搞错了。所以做的时候，务必小心翼翼，像个强迫症患者似的，一步步核对。

总结一下这怎么算的门道：

1. 给原方阵 A 里的每个元素定位 (i, j)。

2. “划掉”它所在的第 i 行和第 j 列，得到一个小一号的矩阵。

3. 计算这个小矩阵的行列式，得到余子式 Mᵢⱼ。

4. 根据位置 (i, j)，计算 (-1)ⁱ⁺ʲ，然后用它乘以余子式 Mᵢⱼ，得到代数余子式 Cᵢⱼ。

5. 把所有元素的代数余子式 Cᵢⱼ 按照原元素 aᵢⱼ 的位置排好，组成余子矩阵 C。

6. 把余子矩阵 C 进行转置，行变列，列变行，得到的就是大名鼎鼎的伴随矩阵 adj(A)。

瞧，步骤就这么几条，但每一步里面都藏着细节。特别是那个行列式计算，如果原矩阵是 4x4 的，你的余子式就是 3x3 的行列式；如果是 5x5，余子式就是 4x4 行列式... 层层嵌套，就像剥洋葱，一层一层往里算。高维矩阵手算伴随矩阵？那真是对耐心和细心度的极限挑战，现代社会嘛，这种苦力活儿咱就交给电脑吧，各种数学软件分分钟给你算出来，比如 MATLAB、Python 的 NumPy 库什么的，敲个命令就行。但作为学生或者想弄懂原理的人，自己上手算个 3x3 的，亲身体验一下这个流程，绝对印象深刻，而且能帮你理解行列式、代数余子式这些概念的真正含义，非常有益。

所以，伴随矩阵怎么算？说穿了，就是一步步地，从原矩阵的每一个角落出发，算出它的“符号化了的行列式替身”（代数余子式），然后把这些替身排好队，最后再整个儿“翻个身”。记住这个过程，记住那些核心概念：余子式、代数余子式、余子矩阵、转置。理解了这些，伴随矩阵就算是被你给“拿捏”住了。它不是玄学，只是有点繁琐的数学操作而已。下次再遇到它，就别犯怵了，按部就班地来，没啥大不了的。