在数学、物理、工程等领域，积分是不可或缺的重要工具。掌握常用的积分公式，可以极大地提高解题效率，简化计算过程。本文旨在汇总一系列常见的积分表公式，方便读者查阅和使用。

一、基本积分公式

1. 幂函数： ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, n ≠ -1

特别地， ∫ dx = x + C

2. 指数函数： ∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C, a > 0, a ≠ 1

特别地， ∫ e^x dx = e^x + C

3. 对数函数： ∫ (1/x) dx = ln|x| + C

4. 三角函数：

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

∫ csc(x) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C

∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C

∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C

∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C

∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C

5. 反三角函数：

∫ arcsin(x) dx = x arcsin(x) + √(1-x^2) + C

∫ arccos(x) dx = x arccos(x) - √(1-x^2) + C

∫ arctan(x) dx = x arctan(x) - (1/2)ln(1+x^2) + C

二、常用积分公式

1. ∫ sin^2(x) dx = (x/2) - (sin(2x)/4) + C

2. ∫ cos^2(x) dx = (x/2) + (sin(2x)/4) + C

3. ∫ tan^2(x) dx = tan(x) - x + C

4. ∫ cot^2(x) dx = -cot(x) - x + C

5. ∫ sin(ax) dx = -(1/a)cos(ax) + C

6. ∫ cos(ax) dx = (1/a)sin(ax) + C

7. ∫ e^(ax) dx = (1/a)e^(ax) + C

8. ∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + C

三、含根式的积分公式

1. ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

2. ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln(x + √(x^2 + a^2)) + C

3. ∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

4. ∫ 1/√(a^2 - x^2) dx = arcsin(x/a) + C

5. ∫ 1/√(x^2 + a^2) dx = ln(x + √(x^2 + a^2)) + C

6. ∫ 1/√(x^2 - a^2) dx = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

四、分部积分法

∫ u dv = uv - ∫ v du

分部积分法的关键在于选择合适的 u 和 dv，通常选择容易求导的函数作为 u，容易积分的函数作为 dv。例如，计算 ∫ x sin(x) dx 时，可以选择 u = x，dv = sin(x) dx。

五、有理函数的积分

有理函数的积分通常需要将其分解为部分分式，然后逐项积分。

例如，对于 ∫ (1/(x^2 - 1)) dx，可以将其分解为 (1/2)[1/(x-1) - 1/(x+1)]，然后分别积分：

∫ (1/(x^2 - 1)) dx = (1/2)∫ [1/(x-1) - 1/(x+1)] dx = (1/2)[ln|x-1| - ln|x+1|] + C = (1/2)ln|(x-1)/(x+1)| + C

六、三角换元法

对于含有 √(a^2 - x^2)、√(x^2 + a^2)、√(x^2 - a^2) 等形式的积分，可以考虑使用三角换元法。

当遇到 √(a^2 - x^2) 时，令 x = a sin(t)

当遇到 √(x^2 + a^2) 时，令 x = a tan(t)

当遇到 √(x^2 - a^2) 时，令 x = a sec(t)

例如，计算 ∫ √(a^2 - x^2) dx 时，令 x = a sin(t)，则 dx = a cos(t) dt。

∫ √(a^2 - x^2) dx = ∫ √(a^2 - a^2 sin^2(t)) a cos(t) dt = ∫ a^2 cos^2(t) dt = a^2 ∫ cos^2(t) dt = a^2[(t/2) + (sin(2t)/4)] + C

将 t = arcsin(x/a) 代回，即可得到最终结果。

七、定积分的常用性质

1. ∫(a,b) f(x) dx = -∫(b,a) f(x) dx

2. ∫(a,a) f(x) dx = 0

3. ∫(a,b) [f(x) + g(x)] dx = ∫(a,b) f(x) dx + ∫(a,b) g(x) dx

4. ∫(a,b) kf(x) dx = k∫(a,b) f(x) dx，其中 k 为常数

5. 若 a < c < b，则 ∫(a,b) f(x) dx = ∫(a,c) f(x) dx + ∫(c,b) f(x) dx

八、特殊函数的积分

一些特殊函数，例如伽马函数、贝塞尔函数等，也有对应的积分公式，但相对复杂，需要查阅专门的数学手册。这里不一一列举。

掌握这些积分表公式，并灵活运用各种积分技巧，可以解决大部分常见的积分问题。在实际应用中，还需根据具体情况选择合适的积分方法，并注意检验计算结果的正确性。 随着 数学理论 的不断发展，积分方法和公式也在不断完善和扩展。 希望这份 积分公式大全 能够成为您学习和工作中的得力助手.理解和记忆这些公式需要时间和练习。 记住，实践是掌握积分技巧的关键。