导数是微积分中的核心概念，它描述了一个函数在某一点附近变化的快慢程度。掌握各种函数的求导公式，对于理解和应用微积分至关重要。本文将系统地介绍大学阶段常见的求导公式，并辅以实例说明。

基本初等函数求导公式

1. 常数函数： 若 f(x) = c (c为常数)，则 f'(x) = 0。常数函数的变化率为零。

2. 幂函数： 若 f(x) = x^n (n为实数)，则 f'(x) = nx^(n-1)。例如，f(x) = x^3，则 f'(x) = 3x^2。

3. 指数函数：

若 f(x) = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)，则 f'(x) = a^x ln(a)。

特别地，若 f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x。e^x的导数是其自身，这在数学中非常特殊。

4. 对数函数：

若 f(x) = logₐ(x) (a > 0 且 a ≠ 1)，则 f'(x) = 1 / (x ln(a))。

特别地，若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。自然对数函数的导数是其自变量的倒数。

5. 三角函数：

f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。正弦函数的导数是余弦函数。

f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。余弦函数的导数是负的正弦函数。

f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec²(x) = 1 + tan²(x)。正切函数的导数是正割的平方。

f(x) = cot(x)，则 f'(x) = -csc²(x) = -(1 + cot²(x))。余切函数的导数是负的余割的平方。

f(x) = sec(x)，则 f'(x) = sec(x)tan(x)。正割函数的导数是正割乘以正切。

f(x) = csc(x)，则 f'(x) = -csc(x)cot(x)。余割函数的导数是负的余割乘以余切。

6. 反三角函数：

f(x) = arcsin(x)，则 f'(x) = 1 / √(1 - x²)。反正弦函数的导数。

f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1 / √(1 - x²)。反余弦函数的导数。

f(x) = arctan(x)，则 f'(x) = 1 / (1 + x²)。反正切函数的导数。

f(x) = arccot(x)，则 f'(x) = -1 / (1 + x²)。反余切函数的导数。

求导法则

除了基本初等函数的求导公式外，还需要掌握一些求导法则，以便对更复杂的函数进行求导。

1. 线性法则： 若 u(x) 和 v(x) 可导，c为常数，则：

(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)。和的导数等于导数的和。

(c u(x))' = c u'(x)。常数乘以函数的导数等于常数乘以导数。

2. 乘法法则（莱布尼兹法则）： 若 u(x) 和 v(x) 可导，则：

(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)。两个函数乘积的导数。

3. 除法法则： 若 u(x) 和 v(x) 可导，且 v(x) ≠ 0，则：

(u(x) / v(x))' = (u'(x) v(x) - u(x) v'(x)) / (v(x))²。两个函数商的导数。

4. 链式法则： 若 y = f(u)，u = g(x)，且 f(u) 和 g(x) 可导，则：

dy/dx = dy/du du/dx = f'(u) g'(x)。复合函数的导数。这是求导中最常用的法则之一，务必掌握。

例子解析

1. 求 y = x² sin(x) 的导数。

使用乘法法则：

u(x) = x²，u'(x) = 2x

v(x) = sin(x)，v'(x) = cos(x)

y' = (x² sin(x))' = 2x sin(x) + x² cos(x)

2. 求 y = ln(x² + 1) 的导数。

使用链式法则：

y = ln(u)，u = x² + 1

dy/du = 1/u，du/dx = 2x

y' = dy/dx = (1/u) 2x = 2x / (x² + 1)

3. 求 y = e^(cos(x)) 的导数

使用链式法则：

y = e^u, u = cos(x)

dy/du = e^u, du/dx = -sin(x)

y' = dy/dx = e^u (-sin(x)) = -e^(cos(x)) sin(x)

高阶导数

一阶导数是对原函数变化率的描述，而高阶导数则是对一阶导数，乃至更高阶导数的变化率的描述。二阶导数表示函数曲线的凹凸性，对于研究函数的极值、拐点等性质非常有用。 高阶导数的求法，就是对一阶导数进行重复求导，直到所需阶数。 例如，如果已知 y = x^4，那么：

y' = 4x^3

y'' = 12x^2

y''' = 24x

y'''' = 24

y''''' = 0

总结

熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则，是学习微积分的基础。通过大量的练习，才能灵活运用这些知识，解决实际问题。理解导数的意义，掌握其计算方法，将为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实的基础。 需要注意的是，在求导过程中，要时刻注意函数的定义域，避免出现无意义的结果。对于复杂的函数，可以尝试将其分解成更简单的函数，再运用相应的求导法则进行计算。