二项分布是概率论和统计学中一个重要的离散概率分布，它描述了在固定次数 `n` 的独立试验中，事件成功的次数。每次试验只有两种可能的结果：成功或失败，且每次试验成功的概率 `p` 保持不变。我们记作 x~b(n,p)。理解其期望和方差对于分析和预测此类随机现象至关重要。

期望（均值）

期望，也称为均值，代表了随机变量的平均取值。对于二项分布 x~b(n,p) 而言，其期望的推导可以通过两种方式进行：一种是直接利用期望的定义，另一种是将其分解为一系列伯努利分布的和。

方法一：直接利用期望定义

对于离散型随机变量，期望定义为所有可能取值与其对应概率的乘积之和。因此，二项分布的期望 E(X) 可以表示为：

E(X) = ∑[k P(X=k)], k = 0, 1, 2, ..., n

其中 P(X=k) 是二项分布的概率质量函数，表示在 `n` 次试验中恰好成功 `k` 次的概率，其表达式为：

P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

将 P(X=k) 代入 E(X) 的表达式，得到：

E(X) = ∑[k C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)], k = 0, 1, 2, ..., n

对该式进行化简，需要一些巧妙的代数技巧。首先，我们注意到当 k=0 时，对应项为 0，因此求和可以从 k=1 开始。其次，将 C(n, k) 展开成阶乘形式，并提取出一个 `np` 项，可以得到：

E(X) = np ∑[C(n-1, k-1) p^(k-1) (1-p)^(n-k)], k = 1, 2, ..., n

令 j = k - 1，则求和变为：

E(X) = np ∑[C(n-1, j) p^j (1-p)^(n-1-j)], j = 0, 1, ..., n-1

此时，求和项恰好是二项分布 b(n-1, p) 的概率质量函数之和，其值为 1。因此，最终得到二项分布的期望：

E(X) = np

方法二：分解为伯努利分布的和

我们可以将二项分布看作是 `n` 个独立的伯努利分布之和。令 Xi 表示第 i 次试验的结果，其中 Xi = 1 表示成功，Xi = 0 表示失败。那么，X 服从伯努利分布，其期望 E(Xi) = p。

由于 X = X1 + X2 + ... + Xn，根据期望的线性性质，有：

E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) = n p

两种方法殊途同归，都证明了二项分布 x~b(n,p) 的期望为 np。

方差

方差衡量了随机变量取值的分散程度。对于二项分布 x~b(n,p)，其方差的推导也存在两种主要方法。

方法一：利用方差的定义

方差定义为随机变量与其期望之差的平方的期望，即 Var(X) = E[(X - E(X))^2]。因此，对于二项分布，方差可以表示为：

Var(X) = ∑[(k - np)^2 P(X=k)], k = 0, 1, 2, ..., n

将 P(X=k) 代入并进行化简，这个过程比较复杂，需要用到一些求和技巧和组合恒等式。最终可以得到：

Var(X) = np(1-p)

方法二：利用伯努利分布的性质

与期望类似，我们可以将二项分布分解为 `n` 个独立的伯努利分布之和。由于 X = X1 + X2 + ... + Xn，并且每次试验是独立的，根据独立随机变量和的方差性质，有：

Var(X) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn)

对于伯努利分布 Xi，其方差为 Var(Xi) = p(1-p)。因此，

Var(X) = n p(1-p) = np(1-p)

两种方法再次殊途同归，证明了二项分布 x~b(n,p) 的方差为 np(1-p)。

总结

对于二项分布 x~b(n,p)，其期望为 E(X) = np，方差为 Var(X) = np(1-p)。理解这两个公式至关重要，它们可以帮助我们分析各种涉及二项分布的实际问题。例如，在掷硬币实验中，如果我们掷硬币 100 次，每次正面朝上的概率为 0.5，那么正面朝上的次数的期望是 100 0.5 = 50 次，方差是 100 0.5 0.5 = 25。

期望和方差是描述二项分布的关键参数，合理运用它们能够更好地理解和预测随机事件的发生规律。