在统计学中，样本均值是一个非常重要的概念，它是利用样本数据对总体均值进行估计的基础。理解样本均值的期望和方差的计算方法，对于进行统计推断至关重要。本文将详细阐述如何计算样本均值的期望和方差，并通过实例加深理解。

1. 期望的计算

设总体为一个随机变量X，其期望为E(X) = μ，方差为Var(X) = σ²。从该总体中随机抽取一个大小为n的样本，记为X₁, X₂, ..., Xₙ。每个Xᵢ都是独立同分布(i.i.d.)的随机变量，并且都与总体X具有相同的分布，即E(Xᵢ) = μ，Var(Xᵢ) = σ²。

样本均值定义为：

X̄ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n

现在，我们需要计算样本均值 X̄ 的期望，即 E(X̄)。根据期望的线性性质：

E(X̄) = E[(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n]

= (1/n) E(X₁ + X₂ + ... + Xₙ)

= (1/n) [E(X₁) + E(X₂) + ... + E(Xₙ)]

由于E(Xᵢ) = μ，所以：

E(X̄) = (1/n) (μ + μ + ... + μ) (n个μ)

E(X̄) = (1/n) (n μ)

E(X̄) = μ

因此，样本均值的期望等于总体期望。这个结果表明，样本均值是总体期望的无偏估计。

2. 方差的计算

接下来，我们需要计算样本均值 X̄ 的方差，即 Var(X̄)。根据方差的性质，如果X₁, X₂, ..., Xₙ是相互独立的随机变量，那么：

Var(aX) = a²Var(X), a为常数

Var(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) = Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(Xₙ)

因此，

Var(X̄) = Var[(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n]

= (1/n²) Var(X₁ + X₂ + ... + Xₙ)

= (1/n²) [Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(Xₙ)]

由于Var(Xᵢ) = σ²，所以：

Var(X̄) = (1/n²) (σ² + σ² + ... + σ²) (n个σ²)

Var(X̄) = (1/n²) (n σ²)

Var(X̄) = σ²/n

所以，样本均值的方差等于总体方差除以样本大小n。这个结果说明，随着样本大小n的增加，样本均值的方差会减小，这意味着样本均值会更接近总体期望，估计的精度会更高。

3. 实际应用举例

假设有一批电子元件，其寿命服从正态分布，总体期望寿命 μ = 1000 小时，总体方差 σ² = 90000 小时²。现在我们随机抽取 25 个元件进行测试，计算样本均值的期望和方差。

根据上面的公式：

E(X̄) = μ = 1000 小时

Var(X̄) = σ²/n = 90000 / 25 = 3600 小时²

这意味着，我们用这25个元件的样本均值来估计这批电子元件的总体期望寿命，那么这个样本均值的期望值是1000小时，而样本均值的方差是3600小时²，标准差是sqrt(3600)=60小时。这个标准差反映了样本均值的波动范围，也是评估估计精度的一个指标。

4. 有限总体修正因子

上面的计算是基于无限总体的假设。如果总体是有限的，且抽样是不放回抽样，则需要引入有限总体修正因子 (Finite Population Correction Factor，FPC)。有限总体修正因子为：

FPC = (N - n) / (N - 1)

其中，N是总体大小，n是样本大小。

在这种情况下，样本均值的方差变为：

Var(X̄) = (σ²/n) FPC = (σ²/n) (N - n) / (N - 1)

可以注意到，当N趋于无穷大时，FPC趋于1，有限总体修正因子可以忽略。

5. 总结

理解样本均值的期望和方差是统计推断的基础。样本均值的期望等于总体期望，样本均值的方差等于总体方差除以样本大小。在有限总体中，还需要考虑有限总体修正因子。通过掌握这些概念，可以更好地利用样本数据来估计总体参数，并评估估计的精度。记住，增加样本容量是降低样本均值方差，提高估计准确度的一个有效方法。