微积分作为高等数学的重要组成部分，是大一新生需要掌握的关键课程。学习微积分，不仅需要理解基本概念，更重要的是通过大量的练习来巩固知识，掌握解题技巧。本文将选取几个具有代表性的微积分经典例题，并进行详细的分析，希望能帮助同学们更好地理解和掌握微积分知识。

例题一：极限的求解

求极限：lim (x→0) (√(1+x) - √(1-x)) / x

分析：此题属于典型的 0/0 型极限，直接代入会导致不定式。解决此类问题，常用的方法包括洛必达法则、等价无穷小替换以及有理化分子。这里我们采用有理化分子的方法。

解：

lim (x→0) (√(1+x) - √(1-x)) / x

= lim (x→0) [(√(1+x) - √(1-x)) (√(1+x) + √(1-x))] / [x (√(1+x) + √(1-x))]

= lim (x→0) [(1+x) - (1-x)] / [x (√(1+x) + √(1-x))]

= lim (x→0) 2x / [x (√(1+x) + √(1-x))]

= lim (x→0) 2 / (√(1+x) + √(1-x))

= 2 / (√1 + √1)

= 2 / 2

= 1

本题考察了极限的求解方法，尤其是对 0/0 型极限的处理。掌握有理化分子、洛必达法则以及等价无穷小替换等方法，能够有效解决此类问题。

例题二：导数的计算

已知函数 y = x sin(x)，求 y'。

分析：此题考察了函数的求导法则，尤其是乘法法则的应用。

解：

y = x sin(x)

y' = (x)' sin(x) + x (sin(x))'

y' = 1 sin(x) + x cos(x)

y' = sin(x) + x cos(x)

此题较为简单，但提醒同学们务必掌握基本的求导公式和法则，例如：常数函数的导数、幂函数的导数、三角函数的导数，以及加法、减法、乘法、除法的求导法则。

例题三：定积分的计算

计算定积分：∫(0 to π/2) sin(x) cos(x) dx

分析：此题考察了定积分的计算方法，可以采用换元法或者利用三角函数公式进行化简。

解法一：换元法

令 u = sin(x)，则 du = cos(x) dx。当 x = 0 时，u = 0；当 x = π/2 时，u = 1。

原式 = ∫(0 to 1) u du

= (1/2) u^2 |(0 to 1)

= (1/2) (1^2 - 0^2)

= 1/2

解法二：利用三角函数公式

sin(x) cos(x) = (1/2) sin(2x)

原式 = ∫(0 to π/2) (1/2) sin(2x) dx

= (1/2) [-(1/2) cos(2x)] |(0 to π/2)

= -(1/4) [cos(π) - cos(0)]

= -(1/4) [-1 - 1]

= 1/2

本题展示了定积分的两种计算方法，换元法和利用三角函数公式化简。选择合适的计算方法能够简化计算过程。

例题四：隐函数求导

已知方程 x^2 + y^2 = 1，求 dy/dx。

分析：此题考察了隐函数求导的方法。我们需要对整个方程两边同时关于 x 求导，并将 y 看作 x 的函数。

解：

对 x^2 + y^2 = 1 两边关于 x 求导，得：

2x + 2y (dy/dx) = 0

2y (dy/dx) = -2x

dy/dx = -x/y

需要注意的是，最终的导数 dy/dx 仍然包含 y，这是隐函数求导的特点。

例题五：函数的单调性与极值

讨论函数 f(x) = x^3 - 3x 的单调性和极值。

分析：要讨论函数的单调性和极值，需要首先求出函数的导数，然后分析导数的正负性，确定函数的单调区间，并找到可能的极值点。

解：

f(x) = x^3 - 3x

f'(x) = 3x^2 - 3

令 f'(x) = 0，则 3x^2 - 3 = 0，解得 x = ±1。

当 x < -1 时，f'(x) > 0，函数单调递增；

当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，函数单调递减；

当 x > 1 时，f'(x) > 0，函数单调递增。

因此，函数在 x = -1 处取得极大值，极大值为 f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2；

函数在 x = 1 处取得极小值，极小值为 f(1) = 1^3 - 31 = -2。

本题完整展示了函数单调性和极值的求解过程，包括求导、分析导数正负性、确定单调区间、找到极值点以及计算极值。

通过以上几个经典例题的分析，希望同学们能够更深入地理解微积分的基本概念和方法，并在实际做题中灵活运用。掌握这些经典例题，将为后续更深入的微积分学习打下坚实的基础。记住，多做练习是学好微积分的关键。