三阶微分方程在工程学、物理学以及应用数学等领域都有广泛的应用，理解和求解这类方程至关重要。求解三阶微分方程的核心在于找到其通解，而通解的结构取决于方程的类型和特征。本文将探讨三阶线性常系数微分方程的三种常见通解形式，并提供相应的示例。

一、 线性齐次三阶常系数微分方程及特征方程

考虑如下形式的线性齐次三阶常系数微分方程：

ay''' + by" + cy' + dy = 0

其中，a, b, c, d 为常数，且 a ≠ 0。

求解这类方程的第一步是建立其特征方程：

ar³ + br² + cr + d = 0

这是一个关于 r 的三次代数方程。解这个方程可以得到三个根 r₁, r₂, r₃，这些根决定了通解的形式。根据特征方程的根的不同情况，通解可以分为以下三种类型：

二、 三种通解形式

1. 三个互异实根

如果特征方程有三个互不相同的实根 r₁, r₂, r₃，则方程的通解形式为：

y(x) = C₁e^r₁x + C₂e^r₂x + C₃e^r₃x

其中，C₁, C₂, C₃是任意常数。

示例：

考虑方程 y''' - 6y" + 11y' - 6y = 0。 其特征方程为 r³ - 6r² + 11r - 6 = 0， 可以分解为 (r - 1)(r - 2)(r - 3) = 0。 因此，特征根为 r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 3。 所以，该方程的通解为：

y(x) = C₁e^x + C₂e^2x + C₃e^3x

2. 一个实根和一对共轭复根

如果特征方程有一个实根 r₁ 和一对共轭复根 α ± βi，其中 α 和 β 是实数，i 是虚数单位，则方程的通解形式为：

y(x) = C₁e^r₁x + C₂e^αxcos(βx) + C₃e^αxsin(βx)

其中，C₁, C₂, C₃是任意常数。

示例：

考虑方程 y''' + y' = 0。 其特征方程为 r³ + r = 0， 可以分解为 r(r² + 1) = 0。 因此，特征根为 r₁ = 0, r₂ = i, r₃ = -i。 所以，该方程的通解为：

y(x) = C₁ + C₂cos(x) + C₃sin(x)

3. 三重实根或含有重根

如果特征方程有三重实根 r，或者含有重根的情况（例如一个单根和一个二重根），则方程的通解形式需要进行调整。

三重实根: 如果 r 是三重根，则通解为：

y(x) = C₁e^rx + C₂xe^rx + C₃x²e^rx

一个单根和一个二重根: 设r₁为单根，r₂为二重根，则通解为：

y(x) = C₁e^r₁x + C₂e^r₂x + C₃xe^r₂x

其中，C₁, C₂, C₃是任意常数。

示例（三重实根）：

考虑方程 y''' - 3y" + 3y' - y = 0。 其特征方程为 r³ - 3r² + 3r - 1 = 0， 可以分解为 (r - 1)³ = 0。 因此，特征根为 r = 1 (三重根)。 所以，该方程的通解为：

y(x) = C₁e^x + C₂xe^x + C₃x²e^x

示例（一个单根和一个二重根）:

考虑方程 y''' - 5y'' + 8y' - 4y = 0。 其特征方程为 r³ - 5r² + 8r - 4 = 0， 可以分解为 (r - 1)(r - 2)² = 0。 因此，特征根为 r₁ = 1, r₂ = 2 （二重根)。 所以，该方程的通解为：

y(x) = C₁e^x + C₂e^2x + C₃xe^2x

三、 非齐次三阶常系数微分方程

对于非齐次方程，即方程右侧不为零的情况：

ay''' + by" + cy' + dy = f(x)

需要先求出对应的齐次方程的通解 (如上所述)，然后再找到一个特解 y_p(x)。 非齐次方程的通解是齐次方程的通解与特解的和：

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

其中 y_h(x) 是齐次方程的通解。寻找特解的方法包括待定系数法和变易常数法，选择哪种方法取决于f(x) 的形式。

四、 总结

理解三阶微分方程通解的结构对于解决实际问题至关重要。 本文总结了线性常系数三阶微分方程三种主要通解形式，并结合具体的例子进行了说明。 掌握这些方法，可以有效地求解各种类型的三阶微分方程，并在相关领域进行应用。 对于更复杂的三阶微分方程，例如变系数方程或非线性方程，可能需要使用更高级的数学工具和数值方法来求解。