计算 1/tan(x²) 的不定积分是一项具有挑战性的任务，因为它不像常见三角函数积分那样直接。这个积分涉及复合函数，需要一些技巧和可能的近似方法才能求解。本文将探讨解决这个问题的可能途径，并指出其中涉及的困难。

首先，我们可以将 1/tan(x²) 写成 cot(x²)。因此，我们需要求积分：

∫ cot(x²) dx

直接积分 cot(x²) 看起来并不容易。 我们尝试用一些常见的积分方法，例如分部积分法。然而，这种方法并没有直接简化问题，反而可能增加复杂性。

另一种方法是尝试用级数展开来表示 cot(x²)。 众所周知，cot(x) 可以表示为级数形式：

cot(x) = 1/x - x/3 - x³/45 - 2x⁵/945 - ...

因此，cot(x²) 可以表示为：

cot(x²) = 1/x² - x²/3 - x⁶/45 - 2x¹⁰/945 - ...

现在，我们可以尝试对这个级数进行积分：

∫ cot(x²) dx = ∫ (1/x² - x²/3 - x⁶/45 - 2x¹⁰/945 - ...) dx

对每一项进行积分，我们得到：

∫ cot(x²) dx = -1/x - x³/9 - x⁷/315 - 2x¹¹/10395 - ... + C

这个级数表示虽然给出了一个关于 cot(x²) 不定积分的近似解，但需要注意的是，这个级数只有在一定范围内收敛，而且需要根据实际精度需求截断级数。另外，我们无法保证用有限项精确地表达整个积分。

此外，我们可以尝试复分析的方法，将 x 视为复数变量，然后利用留数定理等工具。然而，这种方法对于解决实函数的不定积分问题通常比较繁琐，而且需要一定的复分析基础。

另一种思路是使用数值积分方法。由于我们很难找到 cot(x²) 的闭合形式的不定积分，因此我们可以使用数值方法，例如梯形法则、辛普森法则或高斯求积等，来近似计算定积分。数值积分可以在给定的区间内提供一个高精度的近似解，但无法给出一般的函数表达式。

另一种转换思路是利用 cot(x) = cos(x)/sin(x) 将 cot(x²) 表达成 cos(x²)/sin(x²)。 于是，积分变为：

∫ cos(x²)/sin(x²) dx

此时可以尝试使用换元法，例如令 u = sin(x²)，那么 du = 2xcos(x²) dx，但由于我们积分中缺少 x 项，直接替换仍然存在困难。

事实上，类似 ∫ sin(x²) dx 和 ∫ cos(x²) dx 的积分（菲涅尔积分）也没有初等函数的表达式。这意味着 ∫ cot(x²) dx 也很可能没有简单的封闭形式的解。

综上所述，直接求出 1/tan(x²) 的不定积分非常困难。 使用级数展开、复分析或数值积分等方法可以得到近似解，但无法得到简洁的表达式。 这也说明并非所有的积分都存在初等函数的解，我们需要灵活运用不同的数学工具来解决复杂的问题。 对于这种类型的积分，数值计算可能是最实用的选择。 在实际应用中，确定积分的范围，并使用数值积分方法可以得到满足精度要求的解。