在求解线性常系数齐次微分方程时，特征方程扮演着至关重要的角色。通过求解特征方程的根，我们可以确定微分方程的通解形式。而特征方程的根，根据其性质，可以分为三种情况，每种情况对应着不同的通解形式。下面将详细讨论这三种情况。

一、两个不相等的实根

当特征方程存在两个不相等的实根，设为λ₁和λ₂（λ₁ ≠ λ₂），那么对应的线性常系数齐次微分方程的通解形式非常简洁明了。在这种情况下，微分方程的通解可以直接表示为：

y(x) = C₁e^(λ₁x) + C₂e^(λ₂x)

其中，C₁和C₂是任意常数，由初始条件决定。

例题：求解微分方程 y'' - 3y' + 2y = 0

首先，写出特征方程：r² - 3r + 2 = 0

解特征方程得到两个不相等的实根：r₁ = 1，r₂ = 2

因此，该微分方程的通解为：y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(2x)

这种情况下，两个实根分别对应着两个独立的指数函数解，它们的线性组合构成了微分方程的通解。通解包含了两个任意常数，这意味着存在无穷多个解，可以通过给定初始条件（例如y(0)和y'(0)）来确定唯一的解。

二、两个相等的实根

当特征方程存在两个相等的实根，设为λ，那么对应的线性常系数齐次微分方程的通解形式需要进行一些调整。如果简单地按照第一种情况写成C₁e^(λx) + C₂e^(λx)，则两个解是线性相关的，无法构成完整的通解。为了得到线性无关的解，我们需要引入一个 x 的因子。此时，微分方程的通解表示为：

y(x) = C₁e^(λx) + C₂xe^(λx)

其中，C₁和C₂是任意常数。

例题：求解微分方程 y'' - 4y' + 4y = 0

首先，写出特征方程：r² - 4r + 4 = 0

解特征方程得到两个相等的实根：r₁ = r₂ = 2

因此，该微分方程的通解为：y(x) = C₁e^(2x) + C₂xe^(2x)

引入 x 因子，确保了两个解e^(λx) 和 xe^(λx) 线性无关，从而保证了通解的完整性。这个x因子的出现，可以理解为当特征根重合时，两个原本不同的解“坍缩”为同一个解，而x项的存在则提供了一个新的、线性无关的解来补充完整解空间。

三、一对共轭复根

当特征方程存在一对共轭复根，设为 α ± βi (β ≠ 0)，其中 α 和 β 是实数，i 是虚数单位，那么对应的线性常系数齐次微分方程的通解形式涉及到三角函数。在这种情况下，微分方程的通解可以表示为：

y(x) = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

其中，C₁和C₂是任意常数。

例题：求解微分方程 y'' + 2y' + 5y = 0

首先，写出特征方程：r² + 2r + 5 = 0

解特征方程得到一对共轭复根：r₁ = -1 + 2i，r₂ = -1 - 2i

因此，该微分方程的通解为：y(x) = e^(-x)(C₁cos(2x) + C₂sin(2x))

共轭复根的情况对应着振荡行为。实部 α 决定了振荡的幅度是逐渐增大（α > 0）、逐渐减小（α < 0）还是保持不变（α = 0），而虚部 β 决定了振荡的频率。cos(βx) 和 sin(βx) 共同描述了振荡的形状，C₁和C₂则决定了振荡的相位和初始幅度。这种形式的解常见于物理学中的简谐振动问题，例如阻尼振动系统。

总而言之，特征方程根的三种情况（两个不相等的实根、两个相等的实根、一对共轭复根）分别对应着三种不同类型的通解形式。理解这三种情况对于求解线性常系数齐次微分方程至关重要。每种情况的通解形式都包含了待定系数，这些系数需要通过初始条件来确定，最终得到满足特定问题的唯一解。熟练掌握这些方法，能够有效解决各种实际问题。