分部积分法是一种强大的积分技巧，尤其适用于被积函数是两个不同类型函数乘积的情况。对于形如 ∫u dv 的积分，分部积分法提供了一个有效转换公式：∫u dv = uv - ∫v du。该公式的巧妙之处在于，有时通过选取合适的 u 和 dv，可以将原本复杂的积分转化为更容易求解的形式。

分部积分法的核心思想

分部积分法的本质是逆用乘法求导法则。我们知道，(uv)' = u'v + uv'，两边同时积分可得 uv = ∫u'v dx + ∫uv' dx。移项便得到 ∫uv' dx = uv - ∫u'v dx。这正是分部积分公式的雏形。关键在于，如何恰当地选择 u 和 v'，使得右边的积分 ∫u'v dx 比左边的积分 ∫uv' dx 更容易计算。

求解 ∫xeˣ dx 的步骤

现在，让我们运用分部积分法来求解积分 ∫xeˣ dx。

1. 选择 u 和 dv： 观察被积函数 xeˣ， 我们需要选取 u 和 dv。通常，选择的原则是使得 u 的导数变简单，而 dv 的原函数容易求出。在此，我们可以选择 u = x，dv = eˣ dx。

2. 计算 du 和 v： 根据我们的选择，我们计算出 du = dx，v = ∫eˣ dx = eˣ。

3. 应用分部积分公式： 将 u、dv、du 和 v 代入分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，得到：

∫xeˣ dx = x eˣ - ∫eˣ dx。

4. 计算剩余积分： 剩下的积分 ∫eˣ dx 非常简单，其结果为 eˣ。

5. 得到最终结果： 将 ∫eˣ dx = eˣ 代回上式，得到：

∫xeˣ dx = xeˣ - eˣ + C，其中 C 是积分常数。

因此，∫xeˣ dx 的结果是 xeˣ - eˣ + C。

如何选择 u 和 dv？

选择合适的 u 和 dv 是使用分部积分法的关键。一些常见的选择策略包括：

LIATE 法则： 这是一个常用的经验法则，帮助确定哪个函数应该选择为 u。LIATE 代表：

L: Logarithmic functions (对数函数)，例如 ln(x), log₂(x)。

I: Inverse trigonometric functions (反三角函数)，例如 arcsin(x), arctan(x)。

A: Algebraic functions (代数函数)，例如 x, x², x³, ...

T: Trigonometric functions (三角函数)，例如 sin(x), cos(x)。

E: Exponential functions (指数函数)，例如 eˣ, 2ˣ。

按照这个顺序，如果在被积函数中存在几种类型的函数，通常选择排序靠前的函数作为 u。例如，如果被积函数是 xln(x)，那么 ln(x) 应该选择为 u，因为 L 在 A 前面。

简化原则： 选择 u 的另一个重要原则是，希望 u 的导数比 u 本身更简单。例如，选择 x² 作为 u，因为其导数 2x 比 x² 更简单。

容易积分原则： 选择 dv 时，要确保 dv 的原函数 v 容易计算。

需要注意的是，LIATE 法则只是一种启发式方法，并非总是适用。在一些情况下，可能需要尝试不同的选择，才能找到最有效的解决方案。

分部积分法的适用范围

分部积分法适用于许多不同类型的积分，尤其是在被积函数包含以下情况时：

代数函数和三角函数的乘积： 例如 ∫x sin(x) dx, ∫x² cos(x) dx。

代数函数和指数函数的乘积： 例如 ∫x eˣ dx, ∫x² e⁻ˣ dx。

对数函数和代数函数的乘积： 例如 ∫ln(x) dx, ∫x ln(x) dx。

反三角函数： 例如 ∫arcsin(x) dx, ∫arctan(x) dx。

重复使用分部积分法

在某些情况下，使用一次分部积分法后，得到的积分仍然不易求解。这时，可以考虑重复使用分部积分法。例如，对于 ∫x² eˣ dx，需要使用两次分部积分法才能最终求解。

第一次，选择 u = x²，dv = eˣ dx，得到：

∫x² eˣ dx = x²eˣ - ∫2x eˣ dx。

然后，对 ∫2x eˣ dx 再次使用分部积分法，选择 u = 2x，dv = eˣ dx，得到：

∫2x eˣ dx = 2xeˣ - ∫2eˣ dx = 2xeˣ - 2eˣ + C。

最终，将结果代回第一次分部积分的结果，得到：

∫x² eˣ dx = x²eˣ - (2xeˣ - 2eˣ) + C = x²eˣ - 2xeˣ + 2eˣ + C。

总结

分部积分法是一种强大的积分工具，通过巧妙地选择 u 和 dv，可以将复杂的积分转化为更容易求解的形式。掌握分部积分法的关键在于理解其背后的原理，并灵活运用选择 u 和 dv 的策略。通过练习，可以熟练掌握分部积分法，解决各种复杂的积分问题。对于 ∫xeˣ dx 这样的积分，使用分部积分法可以轻松地找到答案。