Z变换是离散时间信号处理中一个极其重要的数学工具，它类似于连续时间信号处理中的拉普拉斯变换。 Z变换可以将一个时域离散信号转换成复频域上的一个函数，从而简化系统分析和设计。一个完备且易于参考的 Z变换对照表 能够极大地提高信号处理工程师的工作效率。

本文旨在提供一个常用的Z变换对照表，并通过分析表格中的关键条目，深入理解Z变换的本质和应用。此外，本文将探讨Z变换与拉普拉斯变换的联系，以及收敛域(ROC) 的重要性。

常用Z变换对

以下是一个简化的Z变换对照表。 为了更好地理解，我们将在后续章节中详细解释这些公式。

| 时域信号 x[n] | Z变换 X(z) | 收敛域 (ROC) |

|---|---|---|

| δ[n] (单位冲激) | 1 | |z| > 0 (整个z平面，除去z=0) |

| u[n] (单位阶跃) | z/(z-1) | |z| > 1 |

| -u[-n-1] | z/(z-1) | |z| < 1 |

| naⁿu[n] | az/(z-a)² | |z| > |a| |

| aⁿu[n] | z/(z-a) | |z| > |a| |

| cos(ωn)u[n] | (z² - zcosω) / (z² - 2zcosω + 1) | |z| > 1 |

| sin(ωn)u[n] | (zsinω) / (z² - 2zcosω + 1) | |z| > 1 |

| e^-αnu[n] | z/(z-e^-α) | |z| > e^-α |

| n²aⁿu[n] | (a(a+z)z) / (z-a)³ | |z| > |a| |

| n aⁿ sin(ωn)u[n] | (az(zasin(ω) - acos(ω)) ) / (z² - 2azcos(ω) + a²)² | |z| > |a| |

| n aⁿ cos(ωn)u[n] | (az(z² - azcos(ω) - a²) ) / (z² - 2azcos(ω) + a²)² | |z| > |a| |

表格条目解读

单位冲激函数 δ[n]： 它的Z变换是1，这意味着它在所有频率上都具有相同的能量。 收敛域是整个z平面，除了z=0点。这是因为单位冲激函数在时域只在n=0时有值，所以它的Z变换是收敛的。

单位阶跃函数 u[n]： 它的Z变换是 z/(z-1)， 收敛域是 |z| > 1。 这是因为单位阶跃函数是一个无限长的序列，它的Z变换只有在 |z| > 1 时才收敛。 Z变换表达式中z=1是一个极点， 所以收敛域不包含z=1点。

指数序列 aⁿu[n]： 它的Z变换是 z/(z-a)， 收敛域是 |z| > |a|。 这是一个非常重要的结果，因为它构成了许多其他Z变换的基础。 当|a|<1时，序列会衰减，|a|>1时，序列会增长。 收敛域保证了信号的稳定性。

正弦和余弦序列： 它们的Z变换涉及复指数， 收敛域是 |z| > 1。 通过观察它们的Z变换，我们可以看到频率成分是如何在z平面上表示的。

收敛域(ROC)的重要性

收敛域(ROC) 是Z变换中至关重要的概念。它定义了z平面上使Z变换公式收敛的区域。 ROC 不仅决定了Z变换的存在性，还决定了时域序列的因果性（causality）和稳定性(stability)。

因果性： 如果一个系统的脉冲响应 h[n] 是因果的（即 h[n] = 0, for n < 0），那么它的 Z变换 H(z) 的 ROC 必定包含无穷远点 (|z| = ∞)。

稳定性： 一个离散时间系统是稳定的当且仅当它的系统函数的 Z变换 H(z) 的 ROC 包含单位圆 (|z| = 1)。

因此，在进行Z变换分析时，必须始终考虑收敛域(ROC)。 否则，可能会导致对系统的误判。

Z变换与拉普拉斯变换的联系

Z变换与拉普拉斯变换之间存在密切的联系。 事实上，Z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间信号上的推广。

假设一个连续时间信号 x(t) 被以采样间隔 T 进行采样，得到离散时间信号 x[n] = x(nT)。 如果我们令 z = e^sT， 其中 s 是 拉普拉斯变换的复频率变量，那么 Z变换 X(z) 与 拉普拉斯变换 X(s) 之间就建立了联系。

这种联系使得我们可以利用拉普拉斯变换的知识来理解和分析Z变换，反之亦然。

Z变换的应用

Z变换在信号处理领域有着广泛的应用，例如：

系统分析： Z变换可以用来分析离散时间系统的稳定性和频率响应。

滤波器设计： Z变换是设计数字滤波器的重要工具。

控制系统： Z变换可以用来分析和设计离散时间控制系统。

图像处理： Z变换的相关概念，例如二维Z变换，也可用于图像处理。

总结

Z变换是离散时间信号处理的基石。 熟练掌握Z变换对照表，理解收敛域(ROC) 的重要性，并了解Z变换与拉普拉斯变换的联系，对于从事信号处理相关领域的工作至关重要。 本文提供的Z变换对照表，可以作为一个快速参考工具，帮助读者更好地理解和应用Z变换。 希望读者能够通过本文，更深入地理解Z变换的原理和应用，并在实际工程中灵活运用。