傅里叶变换作为一种强大的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学等众多领域都有着广泛的应用。它能够将信号从时域转换到频域，揭示信号中不同频率成分的分布情况，为我们分析和处理信号提供了新的视角。理解和掌握常用的傅里叶变换公式，是深入学习相关领域知识的基础。

一、基本定义

连续时间傅里叶变换（CTFT）的定义如下：

X(f) = ∫^-∞_+∞ x(t)e^-j2πft dt

其中，x(t)表示时域信号，X(f)表示频域信号，f表示频率，j是虚数单位。反变换公式为：

x(t) = ∫^-∞_{+∞ X(f)e^j2πft df}

对于离散时间傅里叶变换（DTFT），其定义为：

X(e^jω) = Σ^+∞_n=-∞ x[n]e^-jωn

其中，x[n]表示离散时域信号，X(e^jω)表示频域信号，ω表示角频率。反变换公式为：

x[n] = (1/2π)∫^π_-π X(e^jω)e^jωn dω

二、常用性质

线性性: 傅里叶变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及信号x₁(t)和x₂(t)，有：

F{ax₁(t) + bx₂(t)} = aF{x₁(t)} + bF{x₂(t)}

这条性质简化了复杂信号的傅里叶变换计算，可以将信号分解成简单的成分分别进行变换，再进行线性组合。

时移性: 时域信号的平移对应于频域的相位变化，即：

F{x(t - t₀)} = e^-j2πft₀X(f)

这一性质表明，时域的平移并不改变信号的频谱幅度，只是改变了相位。

频移性: 频域信号的平移对应于时域的调制，即：

F{x(t)e^j2πf₀t} = X(f - f₀)

这一性质是调制解调技术的基础，可以将信号的频谱搬移到不同的频率范围。

尺度变换: 时域信号的尺度变换对应于频域的尺度反变换，即：

F{x(at)} = (1/|a|)X(f/a)

当a>1时，时域压缩，频域扩展；当a<1时，时域扩展，频域压缩。

对称性(对偶性): 若x(t)的傅里叶变换为X(f)，则X(t)的傅里叶变换为x(-f)，即:

如果 x(t) ↔ X(f), 则 X(t) ↔ x(-f)

这个性质在理论分析中非常有用。

卷积定理: 时域卷积对应于频域相乘，频域卷积对应于时域相乘，即：

F{x₁(t) x₂(t)} = X₁(f)X₂(f)

F{x₁(t)x₂(t)} = X₁(f) X₂(f)

其中，“\”表示卷积运算。卷积定理在信号处理中有着重要的应用，例如可以利用频域相乘来实现滤波操作。

微分性质: 时域信号的微分对应于频域乘以j2πf，即：

F{dx(t)/dt} = j2πfX(f)

这表明，时域的微分运算放大了高频成分，抑制了低频成分。

积分性质: 时域信号的积分对应于频域除以j2πf，即：

F{∫x(t)dt} = X(f)/(j2πf) + πX(0)δ(f)

这表明，时域的积分运算放大了低频成分，抑制了高频成分。

三、常用函数的傅里叶变换

单位冲激函数: δ(t) ↔ 1

单位冲激函数的频谱是常数，表明它包含所有频率成分。

单位阶跃函数: u(t) ↔ 1/(j2πf) + (1/2)δ(f)

单位阶跃函数的频谱包含一个直流分量和一个与频率成反比的分量。

符号函数: sgn(t) ↔ 1/(jπf)

符号函数的频谱与频率成反比，且是虚函数。

矩形脉冲函数: rect(t/τ) ↔ τsinc(πfτ)

矩形脉冲函数的频谱是sinc函数，其零点分布与脉冲宽度有关。

高斯函数: e^-πt2 ↔ e^-πf2

高斯函数在时域和频域都保持高斯形状，这是一个重要的特性。

sinc函数: sinc(t) ↔ rect(f)

sinc函数的傅里叶变换是一个矩形函数，这与矩形脉冲函数的傅里叶变换形成对偶关系。

四、离散傅里叶变换 (DFT)

离散傅里叶变换(DFT)是傅里叶变换在离散信号上的实现，在数字信号处理中广泛应用。它的定义如下：

X[k] = Σ^N-1_n=0 x[n]e^-j2πkn/N, k = 0, 1, ..., N-1

其中，x[n]是长度为N的离散信号，X[k]是DFT结果。反变换（IDFT）为：

x[n] = (1/N)Σ^N-1_k=0 X[k]e^j2πkn/N, n = 0, 1, ..., N-1

快速傅里叶变换 (FFT) 是 DFT 的一种高效算法，显著降低了计算复杂度，使得 DFT 在实际应用中变得可行。

五、总结

掌握这些常用的傅里叶变换公式和性质，可以帮助我们更好地理解信号的频域特性，从而进行有效的信号分析、处理和设计。从基本定义到常用性质，再到常见函数的变换，以及离散形式的DFT和高效算法FFT，构成了傅里叶变换理论体系的重要组成部分。通过不断学习和实践，我们可以灵活运用这些工具解决实际问题，推动相关领域的发展。