2021年的全国硕士研究生入学统一考试数学二试题，对广大考生而言是一次重要的挑战。本文将对该年真题进行答案呈现和解析，力求深入剖析考点，帮助读者理解解题思路，从而提升应试能力。本次解析将涵盖高等数学、线性代数两个主要部分，侧重对典型题目的分析，以期达到温故知新的效果。

一、高等数学部分

1. 极限与连续

题目示例：求极限lim(x->0) (e^x - 1 - x)/(x^2)

答案：1/2

解析：本题考察洛必达法则的应用。由于原式为0/0型未定式，可连续使用洛必达法则。第一次求导得到(e^x - 1)/(2x)，仍然是0/0型，再次求导得到e^x / 2。当x趋于0时，极限为1/2。该题的关键在于熟练掌握洛必达法则的适用条件和求导的准确性。同时，也可以考虑使用泰勒公式进行展开求解，将e^x展开为1 + x + x^2/2! + o(x^2)，代入原式即可简化计算。

2. 一元函数微积分

题目示例：已知f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在x=1和x=2处取得极值，求a, b, c的值。

答案：a = -9/2, b = 6, c可以为任意常数。

解析：本题考察导数的应用以及极值的概念。函数在极值点处导数为0，因此f'(1) = 0且f'(2) = 0。首先求出f'(x) = 3x^2 + 2ax + b，然后将x=1和x=2代入得到两个关于a和b的方程。解这两个方程即可求出a和b的值。因为题目没有给出具体的函数值，c的值可以是任意常数。此题重点在于理解极值点导数为零的性质，并能够准确解方程。

3. 多元函数微积分

题目示例：求函数z = x^2 + y^2 - xy 在区域D: x^2 + y^2 <= 1上的最大值和最小值。

答案：最大值为1，最小值为-1/3.

解析：本题考察多元函数的最值问题。首先求函数z的偏导数：∂z/∂x = 2x - y, ∂z/∂y = 2y - x。令偏导数等于0，解得驻点(0, 0)。其次，需要考虑边界上的情况。使用拉格朗日乘数法，构造函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 - xy + λ(x^2 + y^2 - 1)。求L对x, y, λ的偏导数，并令其等于0。解这个方程组可以得到边界上的极值点。比较驻点和边界上的极值点处的函数值，即可得到最大值和最小值。

4. 微分方程

题目示例：求解微分方程 y'' - 4y' + 4y = xe^(2x)

答案：y = (C1 + C2x)e^(2x) + (1/6)x^3e^(2x)

解析：本题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。首先求解对应的齐次方程y'' - 4y' + 4y = 0的特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，解得重根r1 = r2 = 2。因此齐次方程的通解为(C1 + C2x)e^(2x)。然后使用待定系数法求解非齐次方程的特解。设特解为y = x^s(Ax + B)e^(2x)，因为e^(2x)和xe^(2x)是齐次方程的解，所以s=2，则y = (Ax^3 + Bx^2)e^(2x)。求出y的导数y'和y''，代入原方程，比较系数，求出A和B。最后将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原方程的通解。

二、线性代数部分

1. 行列式

题目示例：计算行列式 | 1 2 3 |

| 4 5 6 |

| 7 8 9 |

答案：0

解析：本题考察行列式的计算。可以直接按照行列式的定义展开计算，也可以利用行列式的性质简化计算。观察发现，第三行减去第二行的2倍，再加上第一行，得到全为零的一行。根据行列式的性质，如果行列式中有一行（或一列）元素全为零，则行列式的值为零。

2. 矩阵

题目示例：设矩阵A = | 1 2 |

| 3 4 |, 求A的逆矩阵。

答案：A^-1 = | -2 1 |

| 3/2 -1/2|

解析：本题考察逆矩阵的计算。首先计算A的行列式|A| = 14 - 23 = -2。然后求出A的伴随矩阵A = | 4 -2 |

| -3 1 |。

A的逆矩阵 A^-1 = (1/|A|)A。

3. 线性方程组

题目示例：讨论线性方程组Ax = b的解的情况，其中A = | 1 2 3 |

| 2 4 6 |， b = | 1 |

| 2 |

答案：方程组有无穷多解。

解析：本题考察线性方程组解的判定。首先求出增广矩阵(A|b) = | 1 2 3 1 |

| 2 4 6 2 |。

对增广矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯型矩阵。发现A的秩r(A) = 1，增广矩阵的秩r(A|b) = 1。由于r(A) = r(A|b) < 未知数的个数3，所以方程组有无穷多解。

4. 特征值与特征向量

题目示例：求矩阵A = | 2 1 |

| 1 2 | 的特征值和特征向量。

答案：特征值λ1 = 3, λ2 = 1; 对应的特征向量分别为v1 = (1, 1)^T, v2 = (1, -1)^T。

解析：本题考察特征值和特征向量的计算。首先求解特征方程|A - λE| = 0，即 | 2-λ 1 | = (2-λ)^2 - 1 = 0。

| 1 2-λ |

解得特征值λ1 = 3, λ2 = 1。对于每个特征值，求解(A - λE)v = 0，得到对应的特征向量。例如，当λ = 3时，(A - 3E)v = | -1 1 | v = 0，解得v1 = (1, 1)^T。

| 1 -1 |

结语

上述只是2021年数二真题的部分答案与解析示例。通过对这些题目的分析，希望能够帮助考生更好地理解考点，掌握解题技巧。考生应该认真复习基础知识，多做练习，总结经验，才能在考试中取得理想的成绩。对于备考的同学，需要重视基础知识的掌握，提高解题的灵活性和准确性。 另外，历年真题的演练必不可少，通过练习真题，可以熟悉考试的题型和难度，从而更好地备考。