两个矩阵的合同关系是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵之间的一种特殊等价关系。两个矩阵合同，意味着它们代表同一个二次型在不同基下的表示。深入理解合同的结论，有助于我们更好地理解二次型、线性空间和矩阵的性质。

合同的定义

设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得B = PᵀAP，则称矩阵A和B是合同的。

合同关系的基本结论

1. 合同是一种等价关系：

自反性：任何矩阵A都与自身合同，因为A = IᵀAI，其中I是单位矩阵。

对称性：如果A与B合同，即B = PᵀAP，那么A也与B合同。只需取Q = P⁻¹，则A = QᵀBQ。

传递性：如果A与B合同，B与C合同，那么A与C合同。若B = PᵀAP，C = QᵀBQ，则C = Qᵀ(PᵀAP)Q = (PQ)ᵀA(PQ)，由于P和Q都是可逆矩阵，PQ也是可逆矩阵，所以A与C合同。

由于合同满足自反性、对称性和传递性，因此它是一种等价关系。这意味着我们可以将所有n阶方阵按照合同关系进行分类，属于同一类的矩阵互相合同。

2. 合同矩阵的秩相等：

若A与B合同，即B = PᵀAP，其中P是可逆矩阵。由于P和Pᵀ都是可逆矩阵，因此乘法不改变矩阵的秩。rank(B) = rank(PᵀAP) = rank(AP) = rank(A)。这意味着，合同变换不会改变矩阵的秩。这是一个判断两个矩阵是否合同的必要条件。

3. 合同矩阵的正惯性指数和负惯性指数相等：

这是合同关系最重要的结论之一。正惯性指数是指二次型经过配方后，正系数平方项的个数；负惯性指数是指负系数平方项的个数。合同变换不改变二次型的正负惯性指数。Sylvester惯性定律指出，实二次型经过非退化线性替换变成标准型，标准型中正系数平方项的个数（正惯性指数）和负系数平方项的个数（负惯性指数）是不变的，且等于原二次型的正惯性指数和负惯性指数。由于合同矩阵代表同一个二次型在不同基下的表示，因此它们的正负惯性指数必然相同。正惯性指数和负惯性指数是合同关系的充分必要条件。

4. 实对称矩阵合同于对角矩阵：

对于任意一个实对称矩阵A，总是存在可逆矩阵P，使得PᵀAP = Λ，其中Λ是对角矩阵，且对角线上的元素为A的特征值。这个结论是实对称矩阵可正交对角化的推论。由于实对称矩阵的特征值都是实数，我们可以进一步将Λ化为标准型，即对角线上元素为1、-1和0的对角矩阵。

5. 正定矩阵的合同性质：

如果A是正定矩阵，且A与B合同，那么B也是正定矩阵。因为A正定意味着对于任意非零向量x，有xᵀAx > 0。由于B = PᵀAP，所以对于任意非零向量y，有yᵀBy = yᵀPᵀAPy = (Py)ᵀA(Py)。由于P是可逆矩阵，当y非零时，Py也非零。因此(Py)ᵀA(Py) > 0，这意味着B也是正定矩阵。类似地，负定矩阵的合同变换仍为负定矩阵。半正定矩阵的合同变换仍为半正定矩阵。

应用举例

判断两个矩阵是否合同，常用的方法是计算它们的秩、正惯性指数和负惯性指数。例如，判断矩阵A = [[1, 0], [0, -1]]和B = [[-1, 0], [0, 1]]是否合同。它们都具有秩2，A的正惯性指数为1，负惯性指数为1；B的正惯性指数为1，负惯性指数为1。因此，A和B合同。

总结

两个矩阵合同，意味着它们代表同一个二次型在不同基下的表示。合同关系是一种等价关系，合同矩阵具有相同的秩和正负惯性指数。实对称矩阵合同于对角矩阵，正定矩阵的合同变换仍为正定矩阵。深入理解合同关系，有助于我们更好地理解二次型的几何意义、矩阵的性质以及线性空间的概念。合同关系在矩阵化简、二次型标准化以及解决一些实际问题中有着广泛的应用。