一、基本定义法

这是最基础的判断方法。对于无穷积分∫[a, +∞) f(x) dx，首先计算定积分∫[a, b] f(x) dx，然后求当b趋于无穷大时该定积分的极限。

如果极限存在且有限，则积分收敛，极限值就是积分值。

如果极限不存在或者为无穷大，则积分发散。

例如，考虑积分∫[1, +∞) (1/x^2) dx。

首先，计算∫[1, b] (1/x^2) dx = [-1/x] |[1, b] = -1/b + 1。

然后，求lim(b→+∞) (-1/b + 1) = 1。

因为极限存在且有限，所以积分∫[1, +∞) (1/x^2) dx 收敛，且积分值为1。

再例如，考虑积分∫[1, +∞) (1/x) dx。

首先，计算∫[1, b] (1/x) dx = [ln|x|] |[1, b] = ln(b) - ln(1) = ln(b)。

然后，求lim(b→+∞) ln(b) = +∞。

因为极限为无穷大，所以积分∫[1, +∞) (1/x) dx 发散。

二、比较判别法

比较判别法用于判断被积函数与其他已知收敛或发散的积分的函数之间的关系。如果被积函数小于一个已知的收敛积分的函数，则该积分收敛；如果被积函数大于一个已知的发散积分的函数，则该积分发散。

设f(x)和g(x)在[a, +∞)上连续，且f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0。

1. 如果存在常数M > 0，使得对于所有x ≥ a，有f(x) ≤ M g(x)，且∫[a, +∞) g(x) dx 收敛，则∫[a, +∞) f(x) dx 收敛。

2. 如果存在常数M > 0，使得对于所有x ≥ a，有f(x) ≥ M g(x)，且∫[a, +∞) g(x) dx 发散，则∫[a, +∞) f(x) dx 发散。

例如，判断积分∫[1, +∞) (1/(x^2 + x)) dx的收敛性。

因为对于所有x ≥ 1，有1/(x^2 + x) < 1/x^2，且已知∫[1, +∞) (1/x^2) dx 收敛，所以∫[1, +∞) (1/(x^2 + x)) dx 收敛。

再例如，判断积分∫[1, +∞) (1/√(x + 1)) dx的收敛性。

因为对于所有x ≥ 1，有1/√(x + 1) > 1/√(2x) = (1/√2) (1/√x)，且已知∫[1, +∞) (1/√x) dx 发散，所以∫[1, +∞) (1/√(x + 1)) dx 发散。

三、极限形式的比较判别法

极限形式的比较判别法是对比较判别法的补充，它通过求极限来简化比较过程。

设f(x)和g(x)在[a, +∞)上连续，且f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0。如果lim(x→+∞) [f(x)/g(x)] = L，其中0 < L < +∞，则∫[a, +∞) f(x) dx与∫[a, +∞) g(x) dx具有相同的收敛性。

例如，判断积分∫[1, +∞) (x/(x^3 + 1)) dx的收敛性。

令f(x) = x/(x^3 + 1)，g(x) = 1/x^2。

则lim(x→+∞) [f(x)/g(x)] = lim(x→+∞) [(x/(x^3 + 1))/(1/x^2)] = lim(x→+∞) [x^3/(x^3 + 1)] = 1。

因为∫[1, +∞) (1/x^2) dx 收敛，所以∫[1, +∞) (x/(x^3 + 1)) dx 收敛。

四、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

这两个判别法通常用于判断积分∫[a, +∞) f(x)g(x) dx的收敛性，其中f(x)和g(x)满足特定的条件。

狄利克雷判别法： 如果∫[a, +∞) f(x) dx的积分函数有界，且g(x)单调趋于0，则∫[a, +∞) f(x)g(x) dx 收敛。

阿贝尔判别法： 如果∫[a, +∞) f(x) dx 收敛，且g(x)单调有界，则∫[a, +∞) f(x)g(x) dx 收敛。

例如，判断积分∫[1, +∞) (sin(x)/x) dx的收敛性。

令f(x) = sin(x)，g(x) = 1/x。

∫[1, +∞) sin(x) dx的积分函数有界，因为其原函数为-cos(x)，且-cos(x)的值在-1和1之间。

g(x) = 1/x单调趋于0。

根据狄利克雷判别法，积分∫[1, +∞) (sin(x)/x) dx 收敛。

五、p-积分判别法

p-积分是一种特殊形式的无穷积分，其形式为∫[1, +∞) (1/x^p) dx，其中p为实数。

当p > 1时，积分收敛。

当p ≤ 1时，积分发散。

这个判别法是比较判别法的基础，许多其他的积分都可以通过与其进行比较来判断收敛性。前面已经举例说明。

六、伽马函数和贝塔函数

对于一些特殊形式的积分，可以通过与伽马函数和贝塔函数相关联来判断其收敛性。例如，积分∫[0, +∞) x^(n-1)e^(-x) dx定义了伽马函数Γ(n)，该积分在n > 0时收敛。

总结来说，判断积分的收敛与发散需要根据积分的具体形式和特点选择合适的方法。基本定义法是最直接的方法，比较判别法和极限形式的比较判别法通过与其他已知收敛或发散的积分进行比较来判断，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法适用于特定形式的积分，而p-积分判别法提供了一个重要的参考标准。伽马函数和贝塔函数则在处理特定类型的积分时非常有用。熟练掌握这些方法，可以有效地解决各种积分收敛性问题。