求解形如∫√(a² + x²) dx 的积分，是一个经典且富有技巧性的问题，在数学分析、物理学等领域都有广泛应用。这里的a是一个常数，x是积分变量。求解这个积分涉及三角换元，需要对三角函数之间的关系以及反三角函数的求导有深入的理解。

三角换元法

最常用的方法是三角换元法。观察被积函数的形式，我们选择合适的三角函数来替换x。考虑到tan²θ + 1 = sec²θ，我们可以设：

x = a tanθ

那么，dx = a sec²θ dθ

代入原积分，得到：

∫√(a² + x²) dx = ∫√(a² + a²tan²θ) a sec²θ dθ

= ∫√(a²(1 + tan²θ)) a sec²θ dθ

= ∫√(a²sec²θ) a sec²θ dθ

= ∫a secθ a sec²θ dθ

= a² ∫sec³θ dθ

现在，问题转化为求解 sec³θ 的积分。

sec³θ的积分

∫sec³θ dθ 的求解需要用到分部积分法。设：

u = secθ, dv = sec²θ dθ

du = secθtanθ dθ, v = tanθ

应用分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，得到：

∫sec³θ dθ = secθtanθ - ∫tanθ secθtanθ dθ

= secθtanθ - ∫secθtan²θ dθ

利用 tan²θ = sec²θ - 1，继续化简：

∫sec³θ dθ = secθtanθ - ∫secθ(sec²θ - 1) dθ

= secθtanθ - ∫sec³θ dθ + ∫secθ dθ

将 ∫sec³θ dθ 移到等式左边，得到：

2∫sec³θ dθ = secθtanθ + ∫secθ dθ

∫secθ dθ 的积分是 ln|secθ + tanθ| + C （可以通过乘以 (secθ + tanθ)/(secθ + tanθ) 并进行换元得到）。因此：

2∫sec³θ dθ = secθtanθ + ln|secθ + tanθ| + C

∫sec³θ dθ = (1/2)secθtanθ + (1/2)ln|secθ + tanθ| + C

回代

现在需要将 θ 换回 x。因为我们设 x = a tanθ，所以 tanθ = x/a。我们可以构造一个直角三角形，其中一个角是 θ，对边是 x，邻边是 a，那么斜边就是 √(a² + x²)。因此：

secθ = √(a² + x²) / a

将 tanθ = x/a 和 secθ = √(a² + x²) / a 代入 ∫sec³θ dθ 的结果：

∫sec³θ dθ = (1/2) (√(a² + x²) / a) (x/a) + (1/2)ln|(√(a² + x²) / a) + (x/a)| + C

= (1/2) (x√(a² + x²)) / a² + (1/2)ln|(√(a² + x²) + x) / a| + C

再代回原积分 a² ∫sec³θ dθ：

∫√(a² + x²) dx = a² [(1/2) (x√(a² + x²)) / a² + (1/2)ln|(√(a² + x²) + x) / a|] + C

= (1/2)x√(a² + x²) + (1/2)a²ln|(√(a² + x²) + x) / a| + C

由于 ln(A/B) = ln(A) - ln(B)，我们可以将ln|(√(a² + x²) + x) / a|拆开，而 ln|a| 是一个常数，可以吸收到积分常数 C 中，得到最终结果：

∫√(a² + x²) dx = (1/2)x√(a² + x²) + (1/2)a²ln|√(a² + x²) + x| + C

其他方法与推广

除了三角换元， hyperbolic 函数替换也可以解决这个问题。设 x = a sinh(t)，则 dx = a cosh(t) dt，利用cosh²(t) - sinh²(t) = 1，也能得到类似的结果，虽然形式略有不同，但本质上是等价的。

此外，当a=1时，积分变为∫√(1 + x²) dx，可以直接应用上述公式。当被积函数变为√(A² + Bx²)时，可以通过换元将Bx变为新的变量，然后套用上述公式。

结论

∫√(a² + x²) dx = (1/2)x√(a² + x²) + (1/2)a²ln|√(a² + x²) + x| + C

掌握这个积分的求解方法，对于处理许多工程和物理问题都有重要作用。三角换元法是一种常用的积分技巧，需要熟练掌握。此外，理解不同形式的积分之间的联系，有助于更灵活地解决问题。