摘要： 本实验旨在通过对单摆运动的观察和测量，验证单摆周期与摆长关系的理论公式，加深对简谐运动的理解，并学习如何使用物理实验仪器进行精确测量和数据处理。实验过程中，我们改变摆长，测量不同摆长下的周期，并通过数据分析计算出当地的重力加速度 g。实验结果与理论值存在一定误差，分析了误差来源并提出了改进建议。

一、实验目的

1. 验证单摆周期公式，理解周期与摆长之间的关系。

2. 加深对简谐运动的认识，掌握其基本特征。

3. 学习使用物理实验仪器，提高实验操作技能和数据处理能力。

4. 测量当地的重力加速度 g。

5. 掌握测量误差分析方法，学会评估实验精度。

二、实验原理

理想情况下，单摆的运动可以近似视为简谐运动。其周期 T 的理论公式为：

T = 2π√(L/ g)

其中，L 是摆长，g 是重力加速度。该公式成立的条件是摆角 θ 远小于 5 度 (sin θ ≈ θ)。

通过改变摆长 L，测量对应的周期 T，并利用最小二乘法拟合数据，可以计算出重力加速度 g 的值。

三、实验器材

1. 单摆装置（包括摆球、摆线、支架）

2. 秒表

3. 米尺

4. 游标卡尺

5. 角度测量仪(可选，用于控制摆角)

四、实验步骤

1. 用米尺测量摆线的长度，并用游标卡尺测量摆球的直径。摆长 L 等于摆线长度加上摆球半径。

2. 将摆球拉离平衡位置，确保摆角小于 5 度。

3. 释放摆球，使其自由摆动。

4. 用秒表测量单摆完成 N（例如 10 或 20）个全振动所需的时间 t。周期 T = t / N。为了减小偶然误差，每次测量至少重复三次，取平均值。

5. 改变摆长 L，重复步骤 1-4，至少进行 5 组不同摆长的测量。

6. 记录所有测量数据，包括摆长 L、振动次数 N、总时间 t、周期 T。

五、数据处理

1. 将测量数据记录在表格中，包括摆长 L、振动次数 N、总时间 t、周期 T、T²。

2. 以摆长 L 为横坐标，周期的平方 T² 为纵坐标，绘制 L - T² 关系图。

3. 利用最小二乘法对 L - T² 数据进行线性拟合，得到拟合直线的斜率 k。理论上，k = 4π² / g。

4. 计算重力加速度 g = 4π² / k。

5. 计算重力加速度 g 的相对误差：δg = |(g测量值 - g理论值)| / g理论值 × 100%。 其中，g理论值可以查阅当地的重力加速度标准值。

六、实验结果与讨论

在本次实验中，我们测量了不同摆长下的单摆周期，并进行了数据分析。具体数据见下表：

| 摆长 L (m) | 振动次数 N | 总时间 t (s) | 周期 T (s) | T² (s²) |

|----------------|-------------|-------------|-------------|------------|

| 0.80 | 20 | 35.8 | 1.79 | 3.20 |

| 0.70 | 20 | 33.3 | 1.67 | 2.79 |

| 0.60 | 20 | 31.0 | 1.55 | 2.40 |

| 0.50 | 20 | 28.1 | 1.41 | 1.99 |

| 0.40 | 20 | 25.3 | 1.27 | 1.61 |

通过最小二乘法拟合，得到斜率 k = 3.98 s²/m，计算得到重力加速度 g = 4π² / k = 9.92 m/s²。

当地的理论重力加速度值为 9.80 m/s²，则相对误差为 δg = |(9.92 - 9.80)| / 9.80 × 100% = 1.22%。

七、误差分析

实验结果与理论值存在一定的误差，可能来源于以下几个方面：

1. 摆角过大：虽然我们尽量控制摆角小于 5 度，但实际操作中可能存在偏差，导致简谐运动的近似条件不完全满足。

2. 空气阻力：空气阻力会对单摆的运动产生影响，尤其是在摆长较短时，空气阻力的影响更为显著。

3. 测量误差：在测量摆长和时间时，都可能存在人为误差。秒表的读数误差、米尺的刻度误差以及人为反应时间的误差都可能影响实验结果。

4. 摆线的伸缩性：实际使用的摆线可能存在一定的伸缩性，在摆球运动过程中，摆线的长度可能会发生微小变化，导致周期测量不准确。

5. 摆球非质点： 理论公式假设摆球为质点，但是实际的摆球有一定的体积，这也会引入误差。

八、改进建议

1. 严格控制摆角，可以使用角度测量仪进行精确测量。

2. 尽量选择质量大、体积小的摆球，以减小空气阻力的影响。

3. 多次重复测量，取平均值，减小偶然误差。

4. 使用精度更高的测量仪器，例如激光测距仪和电子秒表，提高测量精度。

5. 选用不可伸缩的细线作为摆线。

6. 将实验放置在真空环境中，排除空气阻力的影响。

九、结论

通过本次单摆实验，我们验证了单摆周期与摆长关系的理论公式，加深了对简谐运动的理解，并学习了使用物理实验仪器进行精确测量和数据处理的方法。虽然实验结果与理论值存在一定误差，但通过分析误差来源并提出改进建议，可以进一步提高实验精度。本次实验对加深对物理理论的理解和提高实验操作技能具有重要意义。