对cosx的三次方求不定积分，是一个常见的三角函数积分问题。虽然乍看之下可能有些复杂，但通过巧妙的三角恒等变换和换元积分法，我们能够有效地求解它。本文将深入探讨∫cos³x dx的求解过程，并探讨一些相关的积分技巧。

方法一：利用三角恒等变换

最常用的方法是利用三角恒等变换将cos³x分解为更易于积分的形式。我们知道cos²x = 1 - sin²x。因此，我们可以将cos³x改写为：

cos³x = cos²x cosx = (1 - sin²x) cosx

现在，积分变为：

∫cos³x dx = ∫(1 - sin²x) cosx dx

接下来，使用换元积分法。令 u = sinx，则 du = cosx dx。 原积分式转化为：

∫(1 - u²) du

这是一个简单的多项式积分，其结果为：

∫(1 - u²) du = u - (u³/3) + C

将 u = sinx代回，得到最终结果：

∫cos³x dx = sinx - (sin³x / 3) + C

其中，C是积分常数。

方法二：分部积分法

虽然三角恒等变换更直接，但分部积分法也可以用于解决这个问题，虽然过程稍微复杂一些。将cos³x看作cosx cos²x，然后应用分部积分法：

设 u = cos²x，则 du = -2cosx sinx dx

设 dv = cosx dx，则 v = sinx

分部积分公式为：∫u dv = uv - ∫v du

因此，∫cos³x dx = ∫cos²x cosx dx = cos²x sinx - ∫sinx (-2cosx sinx) dx

化简得：

∫cos³x dx = cos²x sinx + 2∫sin²x cosx dx

对于第二个积分，再次使用换元积分法。令 u = sinx，则 du = cosx dx。

2∫sin²x cosx dx = 2∫u² du = (2/3)u³ + C₁ = (2/3)sin³x + C₁

将结果代回原式：

∫cos³x dx = cos²x sinx + (2/3)sin³x + C₁

现在，我们尝试将这个结果转换成和方法一一致的形式。我们知道 cos²x = 1 - sin²x，所以：

∫cos³x dx = (1 - sin²x) sinx + (2/3)sin³x + C₁ = sinx - sin³x + (2/3)sin³x + C₁ = sinx - (1/3)sin³x + C₁

可以发现，结果与方法一的结果一致，只是积分常数不同。这再次验证了不定积分结果的正确性，因为常数可以吸收。

验证结果：求导

为了验证结果的正确性，我们可以对求得的不定积分进行求导，看是否能得到被积函数cos³x。

对 sinx - (sin³x / 3) + C求导：

(d/dx) [sinx - (sin³x / 3) + C] = cosx - (1/3) 3sin²x cosx = cosx - sin²x cosx = cosx(1 - sin²x) = cosx cos²x = cos³x

显然，求导结果是被积函数cos³x，因此我们的积分结果是正确的。

相关积分技巧

求解cosx的三次方的不定积分，也涉及一些常用的积分技巧：

三角恒等变换：合理运用三角函数之间的关系，将复杂的三角函数表达式转化为更容易积分的形式。例如，sin²x + cos²x = 1、sin2x = 2sinxcosx、cos2x = cos²x - sin²x等。

换元积分法：选择合适的变量替换，简化积分表达式。

分部积分法：适用于被积函数是两个函数乘积的情况。选择合适的 u 和 dv，使得积分过程简化。

总结

求解∫cos³x dx，关键在于灵活运用三角恒等变换和换元积分法。通过将cos³x分解为(1 - sin²x) cosx，我们成功地将其转化为一个简单的多项式积分。此外，分部积分法虽然过程稍复杂，但也能得到相同的结果。最后，通过对积分结果求导验证了其正确性。熟练掌握这些积分技巧，将有助于我们解决更复杂的积分问题。理解这些技巧，并结合具体问题灵活运用，是在微积分学习中至关重要的一环。练习更多类似的题目，能够帮助加深对这些方法的理解和应用。