排列组合是组合数学的基础，也是解决许多实际问题的关键工具。它主要研究从给定数量的元素中选取若干元素进行排列或组合的方法数。理解并掌握排列组合的原理，能帮助我们更好地分析和解决各种概率、统计以及决策问题。本文将提供一个排列组合题库，并附带详细的解答，希望能帮助读者巩固知识，提升解题能力。

一、基本概念回顾

在深入题库之前，我们需要复习一些基本的概念：

排列（Permutation）：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。排列数记为 P(n,m) 或 A(n,m) ，计算公式为 P(n,m) = n! / (n-m)! ，特别地，当m=n时，P(n,n) = n! ，称为全排列。

组合（Combination）：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素组成一组，不考虑其顺序，称为从n个元素中取出m个元素的组合。组合数记为 C(n,m) 或 (n m) ，计算公式为 C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。

阶乘（Factorial）：一个正整数n的阶乘是指所有小于及等于n的正整数的积，记为 n! = n (n-1) (n-2) ... 2 1。 0! = 1。

加法原理：完成一件事情有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，…，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法。

乘法原理：完成一件事情需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。

二、题库及详细解答

例题1：

从10名学生中选出3名学生组成一个学习小组，有多少种不同的选法？

解答：

由于选出的3名学生不考虑顺序，因此这是一个组合问题。 n=10，m=3，所以 C(10,3) = 10! / (3! 7!) = (10 9 8) / (3 2 1) = 120 种。

例题2：

用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解答：

百位不能为0，所以百位有5种选择。十位有5种选择（除去百位已经用过的），个位有4种选择（除去百位和十位已经用过的）。根据乘法原理，共有 5 5 4 = 100 个。

例题3：

将5本不同的书排成一排，有多少种不同的排法？

解答：

这是一个全排列问题。n = 5，所以 P(5,5) = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 种。

例题4：

有4名男生和3名女生，从中选出3人，要求至少有1名女生，有多少种不同的选法？

解答：

方法一：直接法。可以分为三种情况：1女2男，2女1男，3女0男。

1女2男：C(3,1) C(4,2) = 3 6 = 18

2女1男：C(3,2) C(4,1) = 3 4 = 12

3女0男：C(3,3) C(4,0) = 1 1 = 1

总共有 18 + 12 + 1 = 31 种。

方法二：间接法。先算出总的选法，再减去全是男生的选法。

总的选法：C(7,3) = 7! / (3! 4!) = 35

全是男生的选法：C(4,3) = 4! / (3! 1!) = 4

所以，至少有1名女生的选法有 35 - 4 = 31 种。

例题5：

从1到10这10个数字中，任取两个数，使其和为奇数，有多少种取法？

解答：

要使两个数的和为奇数，必须一个为奇数，一个为偶数。 1到10中有5个奇数和5个偶数。所以取法为 C(5,1) C(5,1) = 5 5 = 25 种。

例题6：

有8个相同的球，放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种放法？

解答：

先在每个盒子中放入一个球，还剩下5个球。 将这5个球放入3个盒子中，允许盒子为空。 可以使用隔板法。相当于将5个球排成一排，中间有4个空隙，在4个空隙中选择2个位置放入隔板，将球分成三份。 方案数为 C(5+3-1, 3-1) = C(7,2) = 7! / (2! 5!) = 21 种。

例题7：

一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若从中任意取出4个球，其中既有红球又有白球，共有多少种不同的取法？

解答：

先算出总的取法，然后减去全是红球和全是白球的取法。

总的取法：C(10,4) = 10! / (4! 6!) = 210

全是红球的取法：C(4,4) = 1

全是白球的取法：C(6,4) = 6! / (4! 2!) = 15

所以，既有红球又有白球的取法有 210 - 1 - 15 = 194 种。

例题8：

求方程 x + y + z = 10 的正整数解的个数。

解答：

设 x = a+1, y = b+1, z = c+1， 则 a+b+c = 7，其中 a,b,c 为非负整数。 这个问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可以为空。 使用隔板法，相当于将7个球排成一排，中间有6个空隙，在6个空隙中选择2个位置放入隔板，将球分成三份。 方案数为 C(7+3-1, 3-1) = C(9,2) = 9! / (2! 7!) = 36 种。

三、总结

通过以上例题，我们可以看到排列组合问题的多样性。解决排列组合问题的关键在于明确问题的本质，判断是排列还是组合，是否需要考虑顺序，以及是否存在限制条件。熟练运用排列组合的公式和原理，并结合具体问题进行分析，是提高解题效率的关键。希望这个题库和详细解答能对大家的学习有所帮助。 持续练习，才能真正掌握排列组合的精髓。